Backgammon-Enden

Mathematiker betrachten die Welt eine Spitze ungewöhnlich. Wir sind an den unverständlichen Sachen interessiert, leiten wir große Zufriedenheit vom Sein sicher über Sachen ab, die andere für bewilligt nehmen oder nie ungefähr denken konnten, und häufig können wir diese anwenden, um interessante Aussagen über die "reale Welt" abzugeben (viel zu unserer Verlegenheit). Ich hoffe, daß Sie darin übereinstimmen, daß dieses eine jener interessanten Aussagen ist.

Theorem (Knapper McMullen, 1994): Backgammonenden mit Wahrscheinlichkeit 1.

Das heißt, wenn man gelegentliche Würfel benutzt (sogar milde beeinflußte) und jede zugelassene spielende Strategie (sogar versuchend zu verlieren), dann die Wahrscheinlichkeit, die das Spiel durch die nth Bewegung beendet hat, erhält willkürlich nah an 1, während n sich erhöht. Es gibt irgendeine Bewegung so, daß die Wahrscheinlichkeit, die das Spiel durch diese Bewegung beendet hat, 99% mindestens, mindestens 99.999%, etc. so die Wahrscheinlichkeit ist, daß ein Spiel ist für immer 0 fortfährt.

Dieses Resultat, wie der Hauptteil von Mathematik, bezieht wenig Berechnung mit ein. Ich habe nicht die Details gesehen, die nirgends schon aufgeschrieben werden, aber dieses Resultat sollte zu jedem ernsten Backgammonspieler zugänglich sein. Ich verwende 3 Schritte, um das Theorem zu demonstrieren.

Schritt 1: Lassen Sie uns eine Veränderung sich vorstellen: Spieler A benennt (wählt), die Würfel, und Spieler B muß eine zugelassene Maßnahme treffen. Sie ist genug, zum zu zeigen, daß dieses geänderte Spiel ein Gewinn für Spieler A so lang ist, wie die Ausgangsposition zugelassen ist.

Schritt 2: In diesem geänderten Spiel von jedem Rechtslage Spieler A kann die Würfel wählen, damit nicht beide Spieler auf dem Stab sind. (dieses kann in 20 Rollen getan werden.)

Schritt 3: Von jeder möglicher Position, in der nicht beide Spieler auf dem Stab sind, kann Spieler A das Spiel beenden, indem er 2-4 genügende Mal in einer Reihe benennt. (9000 ist genügende Male.)

Warum genügt es, das zu zeigen, das die Würfel benennt, kann das Spiel beenden? Lassen Sie uns annehmen, daß von jeder möglicher Position, irgendeine örtlich festgelegte Zahl "n" der sorgfältig gewählten Rollen das Spiel beendet. (wir können n nehmen, um die Höchstzahl der Rollen zu sein, die über dem begrenzten Satz der möglichen zugelassenen Backgammonpositionen benötigt werden, wenn wir einen Wert für jede Position. hatten) Es gibt eine Wahrscheinlichkeit von mindestens 1/36^n, das die Würfel sich benehmen, als wenn benannt durch Player A für n Rollen. Das ist nicht viel, aber nimmt an, daß es nicht geschieht. Dann, nachdem das erste n rollt, wenn das Spiel noch weitergeht, gibt es wieder mindestens eine Wahrscheinlichkeit 1/36^n, daß die Würfel sich benehmen, als wenn benannt durch Spieler A. Damit das Spiel fortfährt, muß es diese, Wahrscheinlichkeiten 1/36^n zu vermeiden halten. Das geschieht für eine Weile, aber mit Wahrscheinlichkeit 1, schließlich tritt der Wahrscheinlichkeit 1/36^n Fall auf, und die Würfel benehmen sich, als wenn besessen. Wenn die Lotterie angemessen ist und Sie halten zu spielen, schließlich gewinnen Sie und gewinnen sogar unendlich häufig.

O.K., also wie konnte ein Spieler, der die Würfel das Spiel beenden benennt? Zuerst kann Spieler A mindestens einen Spieler des Stabes weg erhalten. Das ist einfach genug zu tun, wenn die Position zugelassen ist; es kann nicht sein, daß beide Spieler heraus geschlossen werden. So, wenn ein Spieler nicht heraus geschlossen wird, geben Sie ihnen Doppelte einer Zahl, die geöffnet ist. Wenn dieses alle Kontrolleure dieses Spielers weg vom Stab erhält, dann können wir auf den folgenden Schritt an umziehen. Wenn nicht, dann kamen 4 Kontrolleure den Stab ab, und höchstens wurde man geschlagen. So es gibt jetzt mindestens 3 wenige Kontrolleure auf dem Stab. Ein kann eine bessere Schätzung geben, aber, da es 30 Kontrolleure gibt, die dann nachher höchstens 10 Austäusche total sind (20 Rollen) mindestens, hat ein Spieler keine Kontrolleure auf dem Stab.

Schließlich wenn mindestens ein Spieler nicht auf dem Stab ist, dann 2-4 wiederholt beendet benennen das Spiel. Der Teil von Idee knappen McMullens war, daß in diesem Fall mindestens ein Spieler in der LageSEIN muß, Teil von 2-4 zu spielen. Wenn Sie Punkte 2 und 4 Zacken vor einem Kontrolleur von meinen gebildet haben, dann haben Sie 2, zum, vom Punkt 4 voran zum Punkt 2 voran zu spielen. Sie konnten nicht in der LageSEIN, dieses zu spielen, wenn Sie auf dem Stab sind, aber dann entweder Sie können weg vom Stab umziehen, oder ich habe Zacken der Punkte 2 und 4 vor Ihnen, meinen 2 und 4 Punkten gebildet. So ist die einzige mögliche Weise, die uns beide unter dieser Überschwemmung von 2-4's gehaftet würden, wenn wir beide auf dem Stab mit unseren 2 und 4 gebildeten Punkten sind. Das kann nicht von einer Position geschehen, in der ein Spieler nicht auf dem Stab durch eine Reihenfolge von 2-4 Rollen ist, da die einzige Weise, damit beide Spieler auf dem Stab ist sind, wenn man vom Stab schlägt und wenn Sie mich vom Stab mit 2-4 schlagen, es sein muß, daß mein 2 oder 4 Punkt nicht gebildet wird. So, obgleich es der Fall sein konnte, daß beide Spieler auf dem Stab sind, unter aufeinanderfolgendem 2-4's, das von einer Position abfährt, in der höchstens ein Spieler ist auf dem Stab mindestens, kann ein, Spieler umziehen.

O.K., aber was, wenn die Spieler gerade halten, sich zurückzuschicken? Jetzt kommt das zweite Teil von Idee knappen McMullens in: Wenn Sie Erfolg erhalten, geht Ihr Kontrolleur zum Stab, der Ihr 25 Punkt ist. Künftig ist dieser Kontrolleur immer in einem ungeraden Punkt, wenn die Würfel immer 2-4 zeigen. Ihre ungeraden Punkte sind Punkte Ihres Konkurrenten sogar, also, sobald ein Kontrolleur von Ihrem geschlagen wird, kann er nicht einen Kontrolleur auf einem von ungeraden Punkten Ihres Konkurrenten schlagen. Obwohl der Zackenzählimpuls oszillieren konnte, in etwas Richtung gibt es den Fortschritt, der gebildet wird; ein Kontrolleur in einem gleichmäßigen Punkt muß schließlich vorrücken und kann nicht zurück zu einem gleichmäßigen Punkt gesendet werden. Dieses schlägt mit einem geänderten pipcount vor, das auf jeden Austausch sich verringert, ob oder nicht Erfolge gebildet werden.

Definieren Sie das geänderte pipcount, um das pipcount der Kontrolleure in den ungeraden Punkten plus 12.5mal zu sein das pipcount der Kontrolleure in den gleichmäßigen Punkten.

b..BB.............. ein....a.

Z.B. in der oben genannten Position, ist das geänderte pipcount für Weiß 6 ungerade Zacken plus 12.5 mal 8 gleichmäßige Zacken = 106. Für Blau gibt es 51 ungerade Zacken und 12.5 mal 6 gleichmäßige Zacken, also ist das geänderte pipcount 126. Das geänderte Gesamtpipcount ist 106 + 126 = 232.

Die geänderten pipcount Abnahmen mit jeden 2 oder 4 gespielt:



Wenn kein Kontrolleur geschlagen wird, offenbar verringert sich das pipcount um 2 mindestens, da entweder die ungeraden Zacken oder sogar die Zacken um 2 oder 4 sich verringern. Wenn Sie schlagen, indem Sie einen Kontrolleur in einem ungeraden Punkt von Ihrem verschieben, muß er einen Kontrolleur in einem gleichmäßigen Punkt Ihres Konkurrenten schlagen. Ihre ungerade Zackengesamtmenge verringert sich um 2 mindestens. Der Erfolg Kontrolleur trug mindestens 25 Zacken (2x12) zu geändertem pipcount Ihres Konkurrenten bei und trägt jetzt genau 25 (auf dem Stab) bei, also bleibt geändertes pipcount Ihres Konkurrenten dasselbe oder verringert sich. So verringert sich das geänderte Gesamtpipcount um 2 mindestens. Wenn Sie schlagen, indem Sie einen Kontrolleur in einem gleichmäßigen Punkt von Ihrem verschieben, muß er einen Kontrolleur in einem ungeraden Punkt Ihres Konkurrenten schlagen. Dieses verringert Ihr geändertes pipcount um 25 mindestens (2 gleichmäßige Zackenmal 12.5). Geändertes pipcount Ihres Konkurrenten erhöht vorbei höchstens 22 (von 3 bis 25), also die Gesamtabnahmen um 3 mindestens. Schließlich ist das geänderte pipcount eines Kontrolleurs am größten, wenn es im 24 Punkt ist, in dem sein Wert 24 mal 12.5 = 300 ist. Es gibt 30 Kontrolleure, also ist das maximale mögliche geänderte pipcount 300 mal 30 = 9000. Mit jedem Austausch sein die geänderten pipcount Abnahmen um 2 mindestens, also, nachdem 9000 2-4's in einer Reihe (4500 Austäusche) das geänderte pipcount bis 0 verringert worden sind, und das Spiel rüber.

So von jeder Rechtslage, gibt es mindestens eine 1/36^9020 Wahrscheinlichkeit, die das Spiel innerhalb der folgenden 9020 Rollen beendet, so Backgammon beendet mit Wahrscheinlichkeit 1.

Selbstverständlich kann man die Schätzungen ein wenig festziehen, und intelligentere Wahlen durch Spieler A würden das Spiel viel eher beenden. Von der Ausgangsposition würden 8 5-5's, die von 11 6-6's gefolgt wurden, das Spiel beenden. Ein konnte 3-6 anstelle von 2-4 verwenden. Dem Beweis kann nicht festgezogen werden zu viel, da es für das Spiel zum Letzten über 500 Rollen von 2-4 möglich ist. Diese Methode des Beweises stellt auch keine praktische Begrenzung auf der Länge eines Spiels zur Verfügung, da das Universum unten vor der Halbwertzeit eines Backgammonspiels läuft, das Enden mit Wahrscheinlichkeit 1/36^9020 jede 9020 Rollen. Weiter macht jeder digitale Generator der gelegentlichen Zahl schließlich einen Kreislauf durch, und es ist, daß ein Spiel, das mit solch einem Generator gespielt wurde, einen Kreislauf durchmachen könnte, auch möglich.

Andererseits bedeutet dieses Resultat, daß es kein geben sollte zeichnet in Backgammon. Wenn es eine Kappe auf dem Würfel oder im Gleichspiel gibt, besteht vollkommenes Spiel, und egal wie wild die Position erscheint, gibt es etwas Billigkeit man kann der Position theoretisch zuweisen. Ich kenne nicht in Ihnen aus, aber ich schlafe besser nachts dieses wissend.