Extremos Del Chaquete

Los matemáticos miran el mundo un pedacito extrañamente. Estamos interesados en cosas obscuras, derivamos la gran satisfacción de estar seguros sobre cosas que otros pudieron tomar para concedido o nunca pensar alrededor, y podemos aplicar con frecuencia éstos para hacer declaraciones interesantes sobre el "mundo verdadero" (mucho a nuestra vergu|enza). Espero que usted convenga que éste es una de esas declaraciones interesantes.

Teorema (McMullen Conciso, 1994): Extremos del chaquete con la probabilidad 1.

Es decir, si uno utiliza los dados al azar (incluso suavemente predispuestos), y cualquier estrategia que juega legal (incluso que intenta perder), después la probabilidad que el juego ha terminado por el nth movimiento consigue arbitrariamente cerca de 1 mientras que n aumenta. Hay un cierto movimiento tales que la ocasión que el juego ha terminado por ese movimiento es por lo menos el 99%, por lo menos 99.999%, etc. tan la ocasión que un juego continúa es por siempre 0.

Este resultado, como el bulto de matemáticas, implica poco cómputo. No he visto los detalles preparados dondequiera todavía, pero este resultado debe ser accesible a cualquier jugador serio del chaquete. Utilizaré 3 pasos para demostrar el teorema.

Paso 1: Imaginemos una variación: El jugador A llama (elige) los dados, y el jugador B tiene que hacer un movimiento legal. Es bastante para demostrar que este juego modificado es un triunfo para el jugador A mientras la posición inicial es legal.

Paso 2: En este juego modificado, de cualquier jugador A de la posición legal puede elegir los dados de modo que no ambos jugadores estén en la barra. (esto se puede hacer en 20 rodillos.)

Paso 3: De cualquier posición en la cual no ambos jugadores estén en la barra, el jugador A puede terminar el juego llamando 2-4 bastantes veces en una fila. (9000 es bastantes tiempos.)

¿Por qué es suficiente demostrar eso que llama los dados puede terminar el juego? Supongamos que de cualquier posición, un cierto número fijo "n" de rodillos cuidadosamente elegidos terminará el juego. (podemos tomar n para ser el número máximo de los rodillos necesitados sobre el sistema finito de posiciones legales posibles del chaquete, si teníamos un valor para cada posición.) Hay una ocasión por lo menos de 1/36^n que los dados se comporten como si son llamados por Player A para los rodillos de n. Ése no es mucho, sino supone que no sucede. Entonces después de que la primera n ruede, si todavía se está encendiendo el juego, habrá otra vez por lo menos una ocasión 1/36^n que los dados se comportarán como si son llamados por el jugador A. Para que el juego continúe, debe guardar el evitar de estas ocasiones 1/36^n. Eso sucederá por un rato, pero con la probabilidad 1, el acontecimiento de la probabilidad 1/36^n ocurrirá eventual, y los dados se comportarán como si están poseídos. Si la lotería es justa y usted guarda el jugar, usted ganará eventual, e incluso ganará infinitamente a menudo.

¿Autorización, así que cómo pudo un jugador que llamaba los dados terminar el juego? Primero, el jugador A puede bajar por lo menos de un jugador de la barra. Eso es bastante fácil de hacer si la posición es legal; no puede ser que cierran a ambos jugadores hacia fuera. Tan si no cierran a un jugador hacia fuera, déles los dobles de un número que esté abierto. Si esto consigue a todos los inspectores de ese jugador de la barra, entonces podemos trasladarnos encendido al paso siguiente. Si no, entonces 4 inspectores salieron la barra, y en la mayoría una fue golpeado. Tan ahora hay por lo menos 3 pocos inspectores en la barra. Uno puede dar una estimación mejor, pero puesto que hay 30 inspectores totales entonces después en la mayoría 10 intercambios (20 rodillos) por lo menos un jugador no tendrá ningún inspector en la barra.

Finalmente, si por lo menos un jugador no está en la barra, entonces en varias ocasiones llamar 2-4 terminará el juego. La parte de la idea de McMullen conciso estaba ésa en este caso por lo menos que un jugador debe poder jugar la parte de un 2-4. Si usted ha hecho los puntos 2 y 4 pipas delante de un inspector el míos, después usted tiene 2 a jugar, del punto 4 a continuación al punto 2 a continuación. Usted puede ser que no pueda jugar esto si usted está en la barra, pero entonces o usted puede moverse de la barra o he hecho pipas de los puntos 2 y 4 delante de usted, de mis 2 y 4 puntos. La única manera posible que nos ambos pegarían debajo de este diluvio de 2-4's es tan si estamos ambos en la barra con nuestros 2 y 4 puntos hechos. Eso no puede suceder de una posición en la cual un jugador no esté en la barra por una secuencia de 2-4 rodillos, puesto que la única manera para que ambos jugadores estén en la barra es si una golpea de la barra, y si usted me golpea de la barra con un 2-4 debe ser que mi 2 o 4 puntos no están hechos. Tan aunque puede ser que sea el caso que ambos jugadores están en la barra, debajo de 2-4's sucesivo que empieza con una posición en la cual en la mayoría un jugador esté en la barra por lo menos un jugador puede moverse.

¿Autorización, pero qué si los jugadores apenas guardan el enviarse detrás? Ahora la segunda parte de la idea de McMullen conciso viene en: Cuando usted consigue golpe, su inspector va a la barra, que es su 25 puntos. En adelante, ese inspector será siempre en un punto impar si los dados demuestran siempre 2-4. Sus puntos impares son puntos de su opositor incluso, así que una vez que golpeen a un inspector el tuyo, no puede golpear a un inspector en uno de los puntos impares de su opositor. Aunque la cuenta de la pipa pudo oscilar, en un cierto sentido hay progreso que es hecho; un inspector en un punto uniforme debe avanzar eventual y no puede ser enviado de nuevo a un punto uniforme. Esto sugiere con un pipcount modificado que disminuya en cada intercambio si o no los golpes están hechos.

Defina el pipcount modificado para ser el pipcount de inspectores en puntos impares más 12.5 veces el pipcount de inspectores en puntos uniformes.

b..BB................. un.a.

Por ejemplo, en la posición antedicha, el pipcount modificado para el blanco es 6 pipas impares más 12.5 por 8 pipas uniformes = 106. Para el azul, hay 51 pipas y 12.5 impares por 6 pipas uniformes, así que el pipcount modificado es 126. El pipcount modificado total es 106 + 126 = 232.

Las disminuciones modificadas del pipcount con cada 2 o 4 jugaron:



Si no se golpea a ningún inspector, el pipcount disminuye claramente por por lo menos 2, puesto que las pipas impares o aún las pipas disminuyen por 2 o 4. Si usted golpea moviendo a un inspector en un punto impar el tuyo, debe golpear a un inspector en un punto uniforme de su opositor. Su total impar de la pipa disminuye por por lo menos 2. El inspector del golpe contribuyó por lo menos 25 pipas (2x12) al pipcount modificado de su opositor, y ahora contribuye exactamente 25 (en la barra), así que el pipcount modificado de su opositor permanece igual o disminuye. El pipcount modificado total disminuye tan por por lo menos 2. Si usted golpea moviendo a un inspector en un punto uniforme el tuyo, debe golpear a un inspector en un punto impar de su opositor. Esto disminuye su pipcount modificado por por lo menos 25 (2 veces uniformes 12.5 de las pipas). El pipcount modificado de su opositor aumenta cerca en la mayoría 22 (a partir el 3 a 25), así que las disminuciones del total en por lo menos 3. Finalmente, el pipcount modificado de un inspector es el más grande cuando está en los 24 puntos, donde está 24 su valor por 12.5 = 300. Hay 30 inspectores, así que el pipcount modificado posible máximo es 300 por 30 = 9000. Con cada intercambio, las disminuciones modificadas del pipcount por por lo menos 2, así que después de que 9000 2-4's en una fila (4500 intercambios) el pipcount modificado hayan sido reducidos a 0, y el juego encima.

Tan de cualquier posición legal, hay por lo menos 1/36^9020 una ocasión que el juego terminará dentro de los 9020 rodillos siguientes, chaquete termina tan con la probabilidad 1.

Por supuesto, uno puede apretar las estimaciones algo, y opciones más inteligentes del jugador A terminarían el juego mucho más pronto. De la posición de salida, 8 5-5's seguidos por 11 6-6's terminarían el juego. Uno podía utilizar 3-6 en vez de 2-4. La prueba no puede ser apretada demasiado puesto que es posible para el juego al último sobre 500 rodillos de 2-4. Este método de prueba también no proporciona ningún límite práctico en la longitud de un juego, puesto que el universo funcionará abajo antes del período de un juego del chaquete que los extremos con la probabilidad 1/36^9020 cada 9020 rodillos. Además, cualquier generador digital del número al azar completará un ciclo eventual, y es posible que un juego jugado usando tal generador podría completar un ciclo, también.

Por otra parte, este resultado significa que debe haber ningún dibuja en chaquete. Si hay un casquillo en el cubo o en juego del fósforo, el juego perfecto existe, y no importa cómo es salvaje aparece la posición, hay una cierta equidad una puede asignar teóricamente a la posición. No sé sobre usted, sino que dormiré mejor en la noche que sabe esto.