バックギャモンは終わる

数学者は世界をビット異様に見る。私達は曖昧な事に興味がある、"現実の世界" についての興味深い声明をするために私達は他が許可されるのために取るか、または決して約考えるかもしれない頻繁にこれらを適用できる事についてであることから大きい満足を確信しを(大いに私達の当惑に) 。私はによって同意することを望むこれがそれらの興味深い声明の1 つであることが。

定理(ぞんざいなMcMullen 1994 年): バックギャモンは確率1 で終わる。

すなわち、1 つが任意ダイスをn が増加すると同時に(穏やかに偏られた物) 使用すれば、そして失うことを試みる法的遊ぶ作戦() 、そしてゲームがｎ番目移動によって終えた確率1 に近く任意に得る。ゲームがその移動によって終えたチャンスが少なくとも99% 、少なくとも99.999% 、等ゲームは永久にである0 続くというチャンスそうであることそのような物移動がある。

数学の大部分のようなこの結果は、少し計算を含む。私はまだどこでも書き立てられる細部を見なかったこの結果はあらゆる深刻なバックギャモンプレーヤーにとって入手しやすいべきである。定理を示すのに私は3 つのステップを使用する。

ステップ1: 私達を変化を想像することを許可しなさい: プレーヤーA は(選ぶ) ダイスを呼び、プレーヤーB は法的移動をしなければならない。それは最初の位置が法的である限りこの変更されたゲームがプレーヤーA のための勝利であることを示す十分である。

ステップ2: この変更されたゲームでは、あらゆる法的位置プレーヤーA からプレーヤーがない両方とも棒にあるようにダイスを選ぶかもしれない。(これは20 のロールで。することができる)

ステップ3: プレーヤーがない両方とも棒にあるあらゆる位置から、プレーヤーA は2-4 の十分な回を続けて呼ぶことによってゲームを終えることができる。(9000 は十分な時間。である)

それはなぜゲームを終えることができるダイスを呼ぶそれを示すことを足りるか。私達をあらゆる位置から、注意深く選ばれたロールの固定数"n" がゲームを終えることを仮定することを許可しなさい。(私達は私達が各位置のための価値を。有したら可能な法的バックギャモンの位置の有限なセットに必要とされるロールの最大数であるためにn を取ることができる) ダイスがする少なくとも1/36^n のチャンスがあるようにn ロールのためのPlayer によって呼ばれて。それは多くでないが、仮定する起こらないことを。ゲームがまだ継続すれば、それから最初のn が転がった後再度プレーヤーA によって呼ばれてようにダイスがするという少なくとも1/36^n チャンスがある。続くゲームのためにこれらの1/36^n チャンスを避け続けなければならない。それはしばらく起こるが、確率1 と、結局確率1/36^n のでき事は起こり、所有されていてようにダイスはする。宝くじが公平であり、遊び続ければ結局勝ち、頻繁に無限に勝つ。

ゲームを終えるわかりました、従ってダイスを呼んでいるプレーヤーはいかにかもしれないか。最初に、プレーヤーA は棒の少なくとも1 人のプレーヤーを得ることができる。それは位置が法的ならしには十分に易い; それはプレーヤーが両方とも締まっていることであることができない。そうプレーヤーが締まっていなかったら、それらに開いている数の倍を与えなさい。これが棒を離れてそのプレーヤーのレジ係のすべてを得れば、それから私達は次のステップに動くことができる。そうでなかったら、それから4 人のレジ係は棒から取れ、ほとんどで1 つは当られた。今ではそう棒に少なくとも3 人の少数のレジ係がある。1 つはよりよい見積もりを出すことができるが10 の交換(20 のロール) ほとんどで全体30 人のレジ係が少なくとも後あるので1 プレーヤーに棒のレジ係がない。

少なくとも1 人のプレーヤーが棒になければ最終的に、それから繰り返し2-4 を呼ぶことはゲームを終える。ぞんざいなMcMullen の考えの部分は2-4 の部分をされるこの場合少なくとも1 人のプレーヤーが必要があることだった。ポイント2 を及び私の物のレジ係に先んじる4 つのピップ作ったら、ポイント2 にポイント4 から、前方に前方に遊ぶべき2 がある。棒に、一方では棒を離れて動くことができるあればがまたは私はあなた、私の2 のそして4 ポイントに先んじるポイント2 及び4 ピップを作ったこれをされるかもしれない。そう私達が両方2-4's のこの大洪水の下でスタックしている唯一の可能な方法は私達がなされる私達の2 のそして4 ポイントが付いている棒の両方あればである。それは1 人のプレーヤーが2-4 のロールの順序によって棒にない位置からそれが私の2 か4 ポイントはなされないことなれば両方のプレーヤーのための唯一の方法が棒である1 が棒から当れば、そして2-4 の棒からの私に当ればであるので、起こることができない。プレーヤーは両方とも棒にあることそうそれが事実であるかもしれないが、ほとんどに1 人のプレーヤーが棒に少なくともある位置から始まる連続的な2-4's の下で1 プレーヤーは動くことができる。

プレーヤーがちょうど互いを送返し続ければそれはわかりましたが、何か。今ぞんざいなMcMullen の考えの第2 部分は入って来: 衝突を得るとき、あなたのレジ係はあなたの25 ポイントである棒に行く。その後、そのレジ係は常に異様なポイントにダイスが常に2-4 を示せばである。あなたの異様なポイントはあなたの反対者のポイントである、従ってあなたのレジ係が当られれば、それはあなたの反対者の異様なポイントの1 つのレジ係に当ることができない。ピップの計算が振動するかもしれないのに感覚に作られる進歩がある; 均一なポイントのレジ係は結局進まなければなり、均一なポイントに送返されることができない。これは各交換で減る変更されたpipcount を使用して衝突はなされるかどうか提案する。

と均一なポイントのレジ係の異様なポイントのレジ係のpipcount が12.5 倍のあるために変更されたpipcount をpipcount 定義しなさい。

b..BB. 。................a 。

例えば、上記の位置に、白のための変更されたpipcount は8 つの均一なピップかける12.5 と6 つの異様なピップ= 106 である。青のための、6 つの均一なピップかける51 異様なピップそして12.5 がある、従って変更されたpipcount は126 である。総変更されたpipcount は106 + 126 = 232 である。

あらゆる2 か4 の変更されたpipcount の減少は遊んだ:



レジ係が当られなければ、はっきりpipcount は少なくとも2 異様なピップかピップが2 か4 減るので、減る。あなたの異様なポイントのレジ係の移動によって当れば、あなたの反対者の均一なポイントのレジ係に当らなければならない。あなたの異様なピップの合計は少なくとも2 減る。衝突レジ係はあなたの反対者の変更されたpipcount に少なくとも25 のピップ(2x12) を貢献し、今25 を(棒で) 丁度貢献する、従ってあなたの反対者の変更されたpipcount は同じをとどまるか、または減る。そう総変更されたpipcount は少なくとも2 減る。あなたの均一なポイントのレジ係の移動によって当れば、あなたの反対者の異様なポイントのレジ係に当らなければならない。これは少なくとも25 あなたの変更されたpipcount を減らす(2 つの均一なピップ倍12.5 年) 。あなたの反対者の変更されたpipcount はほとんど22 を(3 から25 から) 、従って合計の減少で少なくとも3 増加する。最終的に、レジ係の変更されたpipcount は価値が12.5 年= 300 かける24 の24 ポイントにあるとき最も大きい。30 人のレジ係がある、従って最高の可能な変更されたpipcount は30 = 9000 かける300 である。各交換と、9000 2-4's が続けて0 に(4500 の交換) 変更されたpipcount 減った、およびゲームはある後少なくとも2 変更されたpipcount の減少、従って。

そうあらゆる法的位置から、ゲームが次の9020 のロールの内で終える少なくとも1/36^9020 チャンス、そうバックギャモンが確率1 で終わるある。

当然、1 つは見積もりを幾分きつく締めることができプレーヤーA によるより理性的な選択はゲームを大いにすぐに終える。スタート地点から、11 6-6's に先行している8 5-5's はゲームを終える。1 つは2-4 の代りに3-6 を使用できる。証拠はそれが2-4 の500 のロール上の最後にゲームのために可能であるのであまりきつく締めることができない。証拠のこの方法はまたゲームの長さで宇宙が確率1/36^9020 の端9020 のロール毎にバックギャモンのゲームの半減期の前に動くので、実用的な限界を提供しない。更に、どのデジタル乱数発生器でも結局循環し、ゲームがそのような発電機を使用して循環できる余りに遊んだことは可能である。

一方では、この結果はそこにバックギャモンで引く否べきであることを意味する。立方体にまたはマッチプレーに帽子があれば、完全な演劇はあり、野生位置が現われてもいかに、位置に公平1 が論理上割り当てるかもしれないある。私はあなたについて知らないが、これを知っている夜によりよく眠る。