Backgammon Einden

De wiskundigen bekijken de wereld vreemd genoeg een beetje. Wij zijn geinteresseerd in duistere dingen, leiden wij ongeveer grote tevredenheid uit het zijn af bepaalde dingen anderen voor verleend zouden kunnen nemen of nooit denken over, en vaak kunnen wij deze toepassen om interessante verklaringen over de "echte wereld" af te leggen (veel aan onze verlegenheid). Ik hoop dat u het ermee eens zult zijn dat dit één van die interessante verklaringen is.

Stelling (Bondige McMullen, 1994): Backgammon einden met waarschijnlijkheid 1.

Namelijk als men willekeurig dobbel (zelfs mild beïnvloede degenen) gebruikt, en om het even welke wettelijke speelstrategie die (zelfs probeert te verliezen), dan de waarschijnlijkheid die het spel door de nth beweging heeft beëindigd wordt willekeurig bijna 1 aangezien n stijgt. Er is één of andere beweging dusdanig dat de kans het spel door die beweging heeft beëindigd minstens 99%, minstens 99,999%, enz. zo de kans is die een spel voor altijd is 0 voortzet.

Dit resultaat, zoals het grootste deel van wiskunde, impliceert weinig berekening. Ik heb de nog overal bijgewerkte details gezien, maar dit resultaat zou voor geen ernstige backgammon speler toegankelijk moeten zijn. Ik zal 3 stappen gebruiken om de stelling aan te tonen.

Stap 1: Veronderstel een variatie: De speler A roept (kiest) dobbelt, en de Speler B moet een wettelijke beweging maken. Het is genoeg om aan te tonen dat dit gewijzigde spel wint voor Speler A is zolang de aanvankelijke positie wettelijk is.

Stap 2: In dit gewijzigde spel, van om het even welke wettelijke positie kan de Speler A kiezen dobbel zodat niet beide spelers op de staaf zijn. (Dit kan in 20 broodjes worden gedaan.)

Stap 3: Van om het even welke positie waarin niet beide spelers op de staaf zijn, kan de Speler A het spel beëindigen door 2-4 genoeg tijden in een rij te draaien. (9000 zijn genoeg tijden.)

Waarom is dobbel het voldoende om dat roepend kan het spel beëindigen aan te tonen? Veronderstel dat van om het even welke positie, één of ander vast aantal "n" zorgvuldig gekozen broodjes het spel zal beëindigen. (Wij kunnen n nemen om het maximumaantal broodjes te zijn nodig meer dan de eindige reeks mogelijke wettelijke backgammon posities, als wij een waarde voor elke positie. hadden) Er is een kans van minstens 1/36^n die zich zal gedragen alsof gevraagd door Speler A n rolt dobbel. Dat niet veel, maar veronderstelt gebeurt het niet. Dan na eerste n rolt, als het spel nog, daar opnieuw zal zijn minstens een kans gaat 1/36^n die zich zal gedragen alsof geroepen door Speler A dobbel. Voor het spel om verder te gaan, moet het houden vermijdend deze kansen 1/36^n. Dat zal voor een tijdje, maar met waarschijnlijkheid 1 gebeuren, uiteindelijk zal de waarschijnlijkheids1/36^n gebeurtenis voorkomen, en dobbel zich zal gedragen alsof bezeten. Als de loterij eerlijk is en u houdt speel, uiteindelijk zult u, winnen en zult zelfs oneindig vaak winnen.

O.k., zodat hoe een speler kunnen zou die eind het spel roept dobbelen? Eerst, kan de Speler A minstens één speler van de staaf weg worden. Dat gemakkelijk te doen als de positie genoeg wettelijk is; het kan zijn niet dat beide spelers uitgesloten zijn. Zo als een speler niet uitgesloten is, geef hen dubbelen van een aantal dat open is. Als dit elk van wordt dat de controleurs van de speler van de staaf, dan wij ons op de volgende stap kunnen bewegen. Als niet, kwamen toen 4 controleurs van de staaf, en hoogstens de meesten werden geraakt. Zo er zijn nu minstens 3 minder controleurs op de staaf. Men kan een betere raming geven, maar aangezien er 30 controleurs totaal dan na hoogstens de meeste 10 uitwisselingen (20 broodjes) minstens zijn één speler zal geen controleurs op de staaf hebben.

Tot slot als minstens één speler niet op de staaf is, dan herhaaldelijk zal het draaien van 2-4 het spel beëindigen. Een deel van Bondig idee McMullen's was dat in dit geval minstens één speler een deel van een 2-4 moet kunnen spelen. Als u punten 2 en 4 pitten voor een controleur van mijn hebt gemaakt, dan u 2 hebt om, van punt 4 vooruit aan punt 2 te spelen vooruit. U zou niet dit kunnen kunnen spelen als u op de staaf bent, maar dan of u kunt zich van de staaf bewegen of ik heb punten 2 en 4 pitten voor u, mijn 2 en 4 punten gemaakt. Zo is de enige mogelijke manier dat wij allebei onder deze stortvloed van 2-4 zouden geplakt worden als wij zowel op de staaf met onze 2 als 4 gemaakte punten zijn. Dat kan van een positie gebeuren niet waarin één speler niet op de staaf door een opeenvolging van 2-4 broodjes is, aangezien de enige manier voor beide spelers om op de staaf te zijn is als men van de staaf raakt, en als u me van de staaf met een 2-4 raakt het moet zijn dat mijn punt 2 of 4 niet wordt gemaakt. Zo hoewel het het geval zou kunnen zijn dat beide spelers op de staaf zijn, onder opeenvolgende 2-4 die van een positie beginnen waarin hoogstens de meesten één speler op de staaf kan zich minstens is één speler bewegen.

O.k., maar wat als de spelers enkel houden terugsturend elkaar? Nu komt het tweede deel van Bondig idee McMullen's in: Wanneer u klap krijgt, gaat uw controleur naar de staaf, die uw punt 25 is. Voortaan, zal die controleur altijd op een oneven punt zijn als dobbel tonen altijd 2-4, Uw oneven punten zijn de punten van uw tegenstander zelfs, zodat zodra een controleur van van u wordt geraakt, kan het een controleur op één van de oneven punten van uw tegenstander raken niet. Alhoewel de pittelling zou kunnen oscilleren, in wat betekenis is er vooruitgang die wordt geboekt; een controleur op een gelijk punt moet uiteindelijk vooruitgaan en kan terug naar een gelijk punt worden gestuurd niet. Dit stelt voor gebruikend gewijzigd pipcount wat op elke uitwisseling vermindert al dan niet de klappen worden gemaakt.

Bepaal gewijzigd pipcount om pipcount van controleurs op oneven punten plus 12,5 keer pipcount van controleurs op zelfs punten te zijn.

B..BB.. ...... ...... a....a.

Bijvoorbeeld, in de bovengenoemde positie, gewijzigd pipcount voor wit is 6 oneven pitten plus 12,5 keer 8 gelijke pitten = 106, Voor blauw, zijn er 51 oneven pitten en 12,5 keer 6 gelijke pitten, zodat is gewijzigd pipcount 126. Gewijzigd totaal pipcount is 106 + 126 = 232.

Gewijzigd pipcount vermindert met elke gespeelde 2 of 4:



Als geen controleur wordt geraakt, duidelijk vermindert pipcount door minstens 2, aangezien of de oneven pitten of zelfs de pitten door 2 of 4 verminderen. Als u door een controleur op een oneven punt van van u te bewegen raakt, moet het een controleur op een gelijk punt van uw tegenstander raken. Uw oneven pittotaal vermindert door minstens 2. De klapcontroleur droeg minstens 25 pitten (2x12) tot uw gewijzigde tegenstander bij pipcount, en draagt nu precies 25 (op de staaf) bij, zodat blijft uw gewijzigde tegenstander pipcount het zelfde of vermindert. Zo gewijzigd vermindert totaal pipcount door minstens 2. Als u door een controleur op een gelijk punt van van u te bewegen raakt, moet het een controleur op een oneven punt van uw tegenstander raken. Dit vermindert uw gewijzigd pipcount door minstens 25.2 gelijke pitten tijden 12.5). Dit vermindert uw gewijzigd pipcount door minstens 25.2 gelijke pitten tijden 12.5). Uw gewijzigde tegenstander pipcount stijgt met hoogstens het meeste 22 (van 3 tot 25), zodat het totaal vermindert door minstens 3. Tot slot is gewijzigd pipcount van een controleur het grootst wanneer het op 24 richt is, waar zijn waarde is 24 keer 12,5 = 300, Er zijn 30 controleurs, zodat maximum gewijzigd mogelijk pipcount is 300 keer 30 = 9000, Met elke uitwisseling, vermindert gewijzigd pipcount, door minstens 2 zodat na 9000 2-4 in een rij (4500 uitwisselingen) gewijzigd zal pipcount verminderd zijn tot 0, en het spel zal over zijn.

Zo van om het even welke wettelijke positie, is er minstens een kans 1/36^9020 die het spel binnen de volgende 9020 broodjes, zo backgammon einden met waarschijnlijkheid 1 zal beëindigen.

Natuurlijk, kan men de ramingen aanhalen enigszins, en de intelligentere keuzen door speler A zouden het spel veel spoediger beëindigen. Van de beginnende positie, zouden 8 5-5 gevolgd door 11 6-6 het spel beëindigen. Men kon 3-6 in plaats van 2-4 gebruiken. Het bewijs kan teveel worden aangehaald niet aangezien het voor het spel mogelijk is om meer dan 500 broodjes van 2-4 te duren. Deze methode van bewijs verstrekt ook geen praktische grens op de lengte van een spel, aangezien het heelal vóór de halveringstijd van een backgammon spel zal afnemen dat met waarschijnlijkheid 1/36^9020 elke 9020 broodjes beëindigt. Verder, zal om het even welke digitale random numbergenerator uiteindelijk cirkelen, en het is mogelijk dat een gespeeld spel gebruikend een dergelijke generator, ook kon cirkelen.

Enerzijds, betekent dit resultaat dat daar geen zou moeten zijn trekt in backgammon. Als er een GLB op de kubus of in gelijkespel is, bestaat er perfect spel, en geen kwestie hoe de wildernis de positie verschijnt, is er wat gelijkheid één kan theoretisch aan de positie toewijzen. Ik ben niet van u op de hoogte, maar ik zal beter bij nacht kennend dit slapen.