步步高末端

数学家奇怪地看世界位。我们是对阴暗的事感兴趣, 我们从获得伟大的满意肯定关于事其他人也许采取为授予或从未认为, 并且我们能频繁地申请这些做有趣的声明关于"现实世界" (对我们的窘态) 。我希望, 您将同意这是那些有趣的声明的当中一个。

定理(简略的McMullen 1994): 步步高末端以可能性1 。

那是如果你使用任意模子(温和地被偏心的甚而那些), 和任一个法律演奏的战略(甚而设法丢失), 那么比赛由第n 移动结束了的可能性任意地得到近1 当n 增加。有某一移动这样, 比赛由那移动结束了的机会是至少99%, 至少99.999%, 等如此机会赛继续永远是0 。

这个结果, 象大多数数学, 介入少许计算。我未看细节被记载任何地方, 但是这个结果应该是容易接近的对任一名严肃的步步高球员。我将使用3 步展示定理。

步骤1: 让我们想象变异: 球员A 叫(选择) 模子, 并且球员B 必须采取法律行动。它是足够表示, 这场修改过的游戏是一次胜利为球员A 只要最初的位置是法律的。

步骤2: 在这场修改过的游戏, 从任一个法律位置球员A 可以选择模子以便没有两个球员是在酒吧。(这可能做在20 卷里。)

步骤3: 从没有两个球员是在酒吧的任一个位置, 球员A 也许结束比赛由连续叫2-4 足够的倍。(9000 是足够时间。)

为什么它满足可能显示那叫模子结束比赛? 让我们假设, 从任一个位置, 某一固定的数字"n" 的仔细地选上的卷将结束比赛。(我们能采取n 是卷的最大数字需要在有限套可能的法律步步高位置, 如果我们有价值为各个位置。) 有模子将表现好象由Player ・A 叫为n 卷至少1/36^n 的机会。那不是, 而是假设它不发生。然后在第一n 滚动之后, 如果比赛仍然继续, 有再将是至少1/36^n 机会, 模子将表现好象由球员A 叫。使比赛继续, 它必须继续避免这些1/36^n 机会。那将发生有一阵子, 但以可能性1, 可能性1/36^n 事件最终将发生, 并且模子将表现好象拥有。如果抽奖是公平的并且您继续演奏, 您最终将赢取, 和无限地经常甚而将赢取。

好, 因此怎么球员叫模子也许结束比赛? 首先, 球员A 能得到至少一个球员酒吧。那足够容易做如果位置是法律的; 它无法是, 两个球员被关闭。如此如果球员不被关闭, 给他们是开放数字的双。如果这得到所有那个球员的验查员酒吧, 我们能然后搬走向下步。如果不是, 4 位验查员然后结束酒吧, 并且至多你被击中了。因此有现在至少3 位少量验查员在酒吧。你可能给一个更好的估计, 但因为有以后30 位验查员总然后至多10 交换(20 卷) 至少一个球员不会有验查员在酒吧。

终于, 如果至少一个球员不是在酒吧, 一再叫2-4 然后将结束比赛。一部分的简略的McMullen 的想法是, 至少一个球员必须在这种情况下能演奏一部分的2-4 。如果您提出了观点2 和4 个小核在我的验查员之前, 那么您有一2 向前演奏, 从点4 向前对点2 。您也许不能演奏这如果您是在酒吧, 但另一方面或者您能搬走酒吧或我做了点2 和4 小核在您, 我的2 和4 点之前。如此我们两个会是陷进在2-4's 之下这洪水的唯一的可能的方法是如果我们是两个在酒吧以我们的2 和4 观点提出。那无法发生从一个球员不是在酒吧由2-4 卷序列的位置, 因为唯一的方式使两个球员是在酒吧是如果你击中从酒吧, 并且如果您击中我从酒吧与2-4 它必须是我的2 或4 观点不提出。如此虽然这也许是实际情形两个球员是在酒吧, 在连续2-4's 之下从至多一个球员是在酒吧至少的位置开始一个球员能搬走。

好, 但若球员继续送回呢? 现在简略的McMullen 的想法的第二部份进来: 当您得到命中, 您的验查员去酒吧, 是您的25 点。从此, 那位验查员总将是在奇怪的点如果模子总显示2-4 。您奇怪的点是您的对手的甚而点, 因此一旦你的验查员被击中, 它无法击中一位验查员在您的对手的奇怪的点的当中一个。即使小核计数也许摆动, 在一些感觉有进展被做; 一位验查员在均匀点必须最终推进和无法被送回到均匀点。这建议使用减少在各交换的一修改过的pipcount 是否命中被做。

定义修改过的pipcount 是验查员pipcount 在奇怪的点加上12.5 倍验查员pipcount 在均匀点。

b..BB. 。................a 。

例如, 在上述位置, 修改过的pipcount 为白色是6 个奇怪的小核加上12.5 乘8 个均匀小核= 106 。为蓝色, 有51 奇怪小核和12.5 乘6 个均匀小核, 因此修改过的pipcount 是126 。总修改过的pipcount 是106 + 126 = 232 。

修改过的pipcount 减退与每2 或4 被演奏:



如果验查员不被击中, pipcount 清楚地减少至少2, 因为或奇怪的小核甚至小核减少2 或4 。如果您击中由移动一位验查员在你的奇怪的点, 它必须击中一位验查员在均匀点您的对手。您奇怪的小核共计减少至少2 。命中验查员对您的对手的修改过的pipcount 贡献了至少25 个小核(2x12), 和确切地现在贡献25 (在酒吧), 因此您的对手的修改过的pipcount 停留同样或减少。如此总修改过的pipcount 减少至少2 。如果您击中由移动一位验查员在你的均匀点, 它必须击中一位验查员在奇怪的点您的对手。这减少您修改过的pipcount 至少25 (2 均匀小核倍12.5) 。您的对手的修改过的pipcount 增加至多22 (从3 到25), 因此共计减退至少3 。终于, 验查员的修改过的pipcount 是最伟大的当它是在24 点, 它的价值是24 乘12.5 = 300 。有30 位验查员, 因此最大可能的修改过的pipcount 是300 乘30 = 9000 。以各交换, 修改过的pipcount 减退至少2, 因此在9000 2-4's (之后4500 交换) 修改过的pipcount 连续被减少了到0, 并且比赛是结束。

如此从任一个法律位置, 有至少比赛将结束在下9020 卷之内的1/36^9020 机会, 步步高以可能性1 如此结束。

当然, 你可能加强有些估计, 并且更加聪明的选择由球员A 会结束比赛快。从开始状态, 8 5-5's 被11 6-6's 跟随会结束比赛。你能使用3-6 代替2-4 。证明无法加强太多因为它是可能的为比赛对为时500 卷2-4 。证明这个方法并且不提供实用极限在赛的长度, 因为宇宙将运行下来在末端以可能性1/36^9020 每9020 卷步步高赛的半衰期之前。进一步, 任一台数字式随机号发电器最终将循环, 并且它是可能的赛被演奏使用这样发电器能循环, 也是。

另一方面, 这个结果意味, 不应该有画在步步高。如果有一个盖帽在立方体或在比赛戏剧, 完善的戏剧存在, 并且无论狂放位置出现, 有一些产权你也许理论上分配到位置。我不知道关于您, 但是我将睡觉更好在晚上知道这。